Hình minh họa độ dốc trên một loạt tập mức. Điểm x0, x1,... là các điểm trực giao với các đường đồng mức (màu xanh) trong quá trình thực hiện thuật toán suy giảm độ dốc cho đến khi tìm được các điểm cực tiểu.

Độ dốc dựa trên quan sát nếu hàm đa biến F ( x ) {\displaystyle F(\mathbf {x} )} là chưa xác định và khả vi trong một vùng lân cận của một điểm a {\displaystyle \mathbf {a} } , sau đó F ( x ) {\displaystyle F(\mathbf {x} )} giảm nhanh nhất nếu đi từ a {\displaystyle \mathbf {a} } theo hướng của độ dốc âm của F {\displaystyle F} tại a , − ∇ F ( a ) {\displaystyle \mathbf {a} ,-\nabla F(\mathbf {a} )} . Nó theo sau nếu

a n + 1 = a n − γ ∇ F ( a n ) {\displaystyle \mathbf {a} _{n+1}=\mathbf {a} _{n}-\gamma \nabla F(\mathbf {a} _{n})}

đối với γ ∈ R + {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} _{+}} đủ nhỏ, khi đó F ( a n ) ≥ F ( a n + 1 ) {\displaystyle F(\mathbf {a_{n}} )\geq F(\mathbf {a_{n+1}} )} . Theo cách nói khác, giá trị γ ∇ F ( a ) {\displaystyle \gamma \nabla F(\mathbf {a} )} được trừ bớt khỏi a {\displaystyle \mathbf {a} } bởi vì chúng ta muốn di chuyển ngược lại độ dốc, hướng đến cực tiểu cục bộ. Với quan sát này, bắt đầu với một phỏng đoán x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} đối với một cực tiểu cục bộ của F {\displaystyle F} , và xem chuỗi x 0 , x 1 , x 2 , … {\displaystyle \mathbf {x} _{0},\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots } là

x n + 1 = x n − γ n ∇ F ( x n ) ,   n ≥ 0. {\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {x} _{n}-\gamma _{n}\nabla F(\mathbf {x} _{n}),\ n\geq 0.}

Khi đó, chúng ta có một chuỗi hàm số đơn điệu

F ( x 0 ) ≥ F ( x 1 ) ≥ F ( x 2 ) ≥ ⋯ , {\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})\geq F(\mathbf {x} _{1})\geq F(\mathbf {x} _{2})\geq \cdots ,}

vì vậy hi vọng chuỗi ( x n ) {\displaystyle (\mathbf {x} _{n})} hội tụ ở mức tối thiểu cục bộ mong muốn. Chú ý rằng giá trị kích thước nhảy (step size) γ {\displaystyle \gamma } được phép thay đổi ở mỗi lần lặp. Với các giả định nhất định về hàm F {\displaystyle F} (ví dụ, hàm lồi F {\displaystyle F} và Lipschitz ∇ F {\displaystyle \nabla F} ) và các lựa chọn cụ thể của γ {\displaystyle \gamma } (ví dụ, được chọn thông qua một tìm kiếm dòng (line search) mà thỏa mãn các điều kiện Wolfe, hoặc phương pháp Barzilai–Borwein[3][4] được nêu như sau),

γ n = | ( x n − x n − 1 ) T [ ∇ F ( x n ) − ∇ F ( x n − 1 ) ] | ‖ ∇ F ( x n ) − ∇ F ( x n − 1 ) ‖ 2 {\displaystyle \gamma _{n}={\frac {\left|\left(\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{n-1}\right)^{T}\left[\nabla F(\mathbf {x} _{n})-\nabla F(\mathbf {x} _{n-1})\right]\right|}{\left\|\nabla F(\mathbf {x} _{n})-\nabla F(\mathbf {x} _{n-1})\right\|^{2}}}}

Chuỗi hội tụ ở mức tối thiểu cục bộ có thể được đảm bảo. Khi hàm F {\displaystyle F} là hàm lồi, tất cả các cực tiểu cục bộ cũng là cực tiểu toàn cục, vì vậy trong trường hợp này, độ dốc giảm có thể hội tụ về giải pháp toàn cục.

Quá trình này được phác họa như trong hình bên cạnh. Với giả định F {\displaystyle F} là được xác định trên mặt phẳng, và đồ thị của nó có hình bát ăn. Các đường cong màu xanh là các đường đồng mức, nghĩa là, các vùng mà giá trị của F {\displaystyle F} là không đổi (hằng số). Mũi tên màu đỏ bắt nguồn từ một điểm cho biết hướng của độ dốc âm tại điểm đó. Lưu ý độ dốc (âm) tại một điểm là trực giao (orthogonality, vuông góc) với các đường đồng mức đi qua điểm đó. Độ dốc suy giảm (rơi xuống) dẫn đường màu đỏ đến đáy của cái tô, tức là, đến điểm mà giá trị của hàm F {\displaystyle F} là nhỏ nhất. Điểm này là điểm cần tìm trong các bài toán về suy giảm độ dốc.